题目解析：网格中点为格点的线段计数

这是一道经典的组合几何问题。我们需要在一个 $(n+1) \times (m+1)$ 的点阵中，寻找两端点均为格点且中点亦为格点的线段数量。

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1. 核心数学原理

假设线段的两个端点坐标分别为 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，其中 $0 \le x_1, x_2 \le n$ 且 $0 \le y_1, y_2 \le m$。

根据中点公式，中点 $M$ 的坐标为：

$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

若要求 $M$ 也是网格点（即坐标为整数），则必须满足：

• $x_1 + x_2$ 是偶数 $\implies x_1, x_2$ 奇偶性相同。
• $y_1 + y_2$ 是偶数 $\implies y_1, y_2$ 奇偶性相同。

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2. 解题思路：分类计数

我们将所有网格点根据横纵坐标的奇偶性分为 4 类：

1. (偶, 偶)：$x$ 是偶数，$y$ 是偶数
2. (偶, 奇)：$x$ 是偶数，$y$ 是奇数
3. (奇, 偶)：$x$ 是奇数，$y$ 是偶数
4. (奇, 奇)：$x$ 是奇数，$y$ 是奇数

结论： 只有当两个端点属于同一种类型时，它们的中点才会在网格点上。

步骤一：统计每种类型的点数

在 $0 \le x \le n$ 和 $0 \le y \le m$ 的范围内：

• 横坐标中，偶数个数 $E_x = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 1$，奇数个数 $O_x = \lceil \frac{n}{2} \rceil$。
• 纵坐标中，偶数个数 $E_y = \lfloor \frac{m}{2} \rfloor + 1$，奇数个数 $O_y = \lceil \frac{m}{2} \rceil$。

四种类型的点数分别为：

• $N_{00} = E_x \times E_y$
• $N_{01} = E_x \times O_y$
• $N_{10} = O_x \times E_y$
• $N_{11} = O_x \times O_y$

步骤二：计算线段组合

在每一类点中，我们任选两个不同的点即可构成一条满足条件的线段。对于点数为 $k$ 的类别，组合数为 $C_k^2$：

$$\text{Count} = \frac{k(k-1)}{2}$$

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3. 代码实现 (C++)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    ll n, m;
    if (!(cin >> n >> m)) return 0;

    // x坐标中，偶数的个数和奇数的个数
    ll ex = n / 2 + 1;
    ll ox = (n + 1) / 2;

    // y坐标中，偶数的个数和奇数的个数
    ll ey = m / 2 + 1;
    ll oy = (m + 1) / 2;

    // 四种类型的点数
    ll n00 = ex * ey; // (偶, 偶)
    ll n01 = ex * oy; // (偶, 奇)
    ll n10 = ox * ey; // (奇, 偶)
    ll n11 = ox * oy; // (奇, 奇)

    // 计算每类点中选出2个点的组合数之和
    ll ans = 0;
    ans += n00 * (n00 - 1) / 2;
    ans += n01 * (n01 - 1) / 2;
    ans += n10 * (n10 - 1) / 2;
    ans += n11 * (n11 - 1) / 2;

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

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4. 样例验证

样例 1: $n=2, m=3$

• $x \in \{0, 1, 2\} \implies E_x=2, O_x=1$

• $y \in \{0, 1, 2, 3\} \implies E_y=2, O_y=2$

• 点数统计：

• $N_{00} = 2 \times 2 = 4 \implies C_4^2 = 6$

• $N_{01} = 2 \times 2 = 4 \implies C_4^2 = 6$

• $N_{10} = 1 \times 2 = 2 \implies C_2^2 = 1$

• $N_{11} = 1 \times 2 = 2 \implies C_2^2 = 1$

• 总数：$6 + 6 + 1 + 1 = 14$。正确。

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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。直接通过数学公式计算。
• 空间复杂度：$O(1)$。只使用了常数个变量。